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正文摘录:

吴芳：一种B样条曲线的交互光顺算法N：(f)，i一1，2，…，m和B样条曲线为R(f)一∑N，(￡)P：。曲线R(￡)的曲率函数可表示如下：础)：盟产(1)在前言中提到判断曲线是否光顺的两个标准，本文采用能量标准，传统能量方法是希望式(2)取到最小值。I∥(￡)lIR’(￡)lldf(2)其中：Ⅳ(￡)是曲线R(￡)的曲率。但在实际应用中，要使得式(2)最小，导致了一个非线性问题，通常没有直接简单的解法。为了简便起见，一般采用…∥(r)ll。df来近似的取代式(2)，即希望得到新的控制顶点，使得：l_J彤(f)Il。df—min(3)需要指出的是，用式(3)作近似替代，有时会出现异常情况“’。本文在简化能量标准的基础上，对目标函数作了改造，可以避免出现异常情况，且光顺算法是线性的。众所周知，B样条曲线的控制多边形大致反映了曲线的形状，因此可以考虑通过调节控制顶点来调节曲线的形状。试着对控制顶点进行扰动，可以得到和原曲线形状大致吻合但更光顺的曲线。由用户直接手工修改控制顶点是最直观的方法，但此方法的缺点是用户难以简单迅速地判断应该如何调节控制顶点才能得到更为光顺的曲线。采用其算法，如果用户希望调节多个控制顶点，就需要对每个控制顶点逐次进行调节，用上述方法就显得麻烦而且很难保证最后得到的曲线是否满足用户需要。而本文算法则克服了这种情况，可以一次调节多个控制顶点，且可根据用户需要对曲线进行局部修改。2.2B样条曲线的光顺由于在工程应用中，曲线的两端通常固定不动，所以不妨假定B样条曲线两端插值控制多边形端点，节点向量可假设≠l—f2一￡3一fI＜￡5＜…＜f。＜￡¨1一fW一￡。。一￡…，对于需光顺的曲线，由于控制顶点决定曲线的形状，相应地给除端点外的控制顶点P，一个小的扰动e，，可得到一条新的曲线：R’(f)一N.(f)P。+∑N。(f)(P，+P，)+N。(f)P。(4)由式(3)，有：E—r“[M(f)P。+∑M(f)(P，+P，)+札(f)P。]。出(5)我们希望E—min，显然，如果不对q，j一2，3，…，，”一l做任何限制，则光顺后得到一条连接端点P。和P。。的直线。但在实际应用中，要求光顺后的曲线仍能保持初始形状，所以需对控制顶点的扰动量加以约束。以扰动量132模长的上界作为约束条件，可以选取目标函数如下：，E—min㈠8『II≤￡，e＞o，1＜i＜m‘。’可以通过求解约束优化问题来得到光顺曲线，在Eck一文中，每次只考虑调节R，而采用上面方法，则可一次光顺整条曲线。同Eck的算法类似，先求解线性方程组莠一。，i一2，3，…，m一1，然后选取e?一elr詈丌。但这样dP，llP，ll简化求解得到的光顺曲线并不一定是式(6)的最优解，且固定了ll巳}f一￡。对此方法进行改进，对应q给定权重砌，，得到新目标函数如下：F一∑·wie；+r。[M(f)P，+∑M(f)(P，+q)+札(￡)P。]。出一min(7)采用此种改进方法，就把一个优化问题变为线性问题，扰动量的大小由权重的选取来约束。求解式(7)，得到如下表达式：÷莠一时n眦)P1+蒙m凇m，+札(f)P。]M(t)出一wle。+r[∑Ⅳ(￡)NJ(f)P，+∑M(f)M(f)。]d￡一zoie，+∑[rM(￡)N：(f)d￡]0+∑[rM(￡)M(￡)df]P，一0.i一2，3…，埘一1(8)定义B“一rM(f)V(￡)出，i一1，2，…，m，J一1，2，…，m，可得如下表达式：一u2+B22lB32f’LB一一B23叫3+B㈨B一1.3B2…lB‰一1训。一1+B。“一∑P，B。∑P，Bm∑P，B一，，广洲2+B2zB23lB。：毗十B3。记w—1..I：：LB一㈦B“，ax一[P2氏…％.1]’.B2，。一lB3.一I硼。1+B—h(9)