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正文摘录:

2006年第24期总第239z一(1一∥)’。。∥’。。P4，y一一(1一卢)’。。卢一’坨已。B(14)则：舡’+毋T一(1～∥)ⅢP’肥AA’Pj一(1一P)Ⅲ旷mBB’已j--_(1一卢)“。卢V。Pj一(1～p)’。。卢。。。Pj—o[删][驯]’一(1一卢)’胆，JAA’Pj+(1一∥)卢P。BB’Pj一(1一卢)’胆，Pj(1～∥)+(1一卢)∥’q8j卢一∥+(1～卢)一1因为由式(12)可得：Ay’一～(1一卢)’。。卢一坨AB’已j—O＆。一(1一∥)一“。卢’”BA’Pj—O且：zy、一一eA酽￡一Q所以行向量[zy]使得式(13)中矩阵T的各行相互规范正交。注意，当p为￡重特征值时，式(14)可以给出￡个相互垂直的单位行向量。用m(P，卢)表示矩阵P的特征值岸的重数，S(P，∥)表示P的对应于特征值卢的特征子空间，则由式(12)可得：77z(BB。，O)一dimS(BB’，O)一m一心m(BB’，1)一m(。4,4’，O)一dimS(AA’，O)一m—r.故BB’的大于O而小于1的特征值的重数之和为：从而由式(14)定义的形如[zy]的单位行向量共有r，+r：一m个。由于构成这些行向量的特征向量或对应于不同的特征值，或是对应于同一特征值的相互正交的特征向量，因此由他们所构成的(n+r2一m)×2m矩阵x。和K也同样使式(13)中矩阵T的各行相互规范正交。由引理知，有(2m—r】一％)×2m矩阵x，和l，，，使得矩阵T的各行相互规范正交，其中Ⅺ的各列均属于N(A)nN(口)，y。是零矩阵。由于：Xx’一(1一卢)一“。卢“。xlA’Pj一0xly’一一(1一∥)“。卢。”x1B’Pj—O所以，若令：x一『x，]l，一『y，]L墨JLyzJ则x和y是优×2m矩阵，且使得矩阵T的各行相互规范正交。引理和定理的证明都是构造性的，他们给出了由短序列正交多尺度函数构造相应正交多小波的一种方法。对于非短序列的正交多小波是否有类似的构造，仍是一个值得研究的问题。4算法对于由式(2)所表示的短序列正交多尺度函数，为求出式(3)中的小波序列，首先按式(10)定义矩阵A，B，x和y，然后按下列步骤求出矩阵x和l，。(1)求出r】一ran尼(A)和r2@’通过求解矩阵方程l三F’一0，得到N(A)nN(JB)中的2m—r_一r。个规范正交向量，并将这些向量转置，构成(2m—r，一r。)×2m的矩阵x。。令K是与x。同样大小的零矩阵；(3)对于矩阵BB’的每一个大于O而小于1的特征值∥，设其重数为￡，求出其相互规范正交的￡个单位特征向量。对于每个单位特征向量P：，令z一(1一∥)…。∥’，。P4，y一～(1一卢)“。肛。胆P，B，则所有形如[zy]的行向量共有r^+托一仇个，他们构成了矩阵[鼍K]；rXy，1H’令[删]一f乏y：f’贝0x和l，就是所求的m×2m矩阵。一个容易验证的重要事实是，若矩阵x和l，是由以上算法求出的一组解，则对于任意的m×m的酉矩阵【，，矩阵【Ⅸ和UY也是问题的一组解。通过U的选取，我们可以得到具有不同特性的多小波。5结语由正交多尺度函数构造其相应正交多小波的方法，具有计算简单且不受多小波重数限制的特点，不用求解关于多元未知矩阵的非线性方程组或进行相应的多项式矩阵的因子分解。与已有的通过选取参数来确定多小波系统的方法相比，因为他由尺度序列直接确定小波序列，不必考虑改变参数时这两个序列之间相关的变化，所以更便于灵活地设计出具有各种所需特性的多小波系统。参考文献[1][美]崔锦泰.小波分析导论[M].程正兴，译.西安：西安交通大学出版社，1995.[2]JiangQ.0rthogonalMultiwaveletswith0ptl’mumTlme—fre(que，ncyResolut’ion[J_.IEEETrans.，s.P.，Spec：ialIssueonThem’yandAppli(：at‘ionofFilterbanksandWaveletTransfoI‘ms，1998，46(4)：830—844.[3]stHangG，strelaV.ShortWaveletsandMatrix[)ilationE—quations.IEEETrans.onSignalProcessl‘ng，1995，43：】08一]]5.作者简介蒋彦女，1962年出生，江苏常州人，副教授。主要从事数学课程教学与应用研究。